浙江省杭州學軍中學數學復習:競賽中的局部調整策略  共用

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數學競賽中的局部調整策略

局部調整法,就是為了解決某個問題,從與問題有實質聯系的較寬要求開始,然后充分利用已獲得的結果作為基礎,逐步加強要求,逐步逼近目標,直至最后徹底解決問題的一種解題方法。
這種方法在解決數學競賽問題中有著廣泛的應用,本文舉例闡述應用這種方法解題的基本策略。
例1已知銳角三角形中,在的內部(包括邊界)上找一點,使得到三邊的距離之和最小。[]
分析先對在邊界上時,研究點在什么位置時,到三邊距離之和最小,
然后再對在的內部時進行研究。
解(一)先研究在的邊界上時
(1)若在邊上
如圖1,記的頂點對應的邊分別是
,邊上的高分別為,
到邊的距離分別為,連。
由面積關系得,時取等號)。即在點處時,到三邊距離之和最小。
(2)若在邊上,在點處時,到三邊距離之和最小。
(3)若在邊上,在點處時,到三邊距離之和最小。
綜合(1),(2),(3),當點在點處時,到三邊距離
之和最小。
(二)再研究在內部時
如圖2,過作的平行線交于,交
于,固定,由(一)知,
讓變化,有
,.
綜合(一)(二)知,當點在處時,
最小。
評注本題先對在邊界上進行調整,獲得問題的局部解決。經過若干次這樣的局部調整,逐步逼近目標,最終得到問題的整體解決。
例2已知正實數,滿足,
求證:.[]
分析從特殊情形入手,時不等式成立,然后研究一般情況,通過局部調整解決問題。
證明當時不等式成立。
當中不全為1時,其中必有一個屬于(0,1),一個屬于,據對稱性,不妨設.[
(1)若

。
(2)若,即
作第一次調整:令下證.
即證①.令,
則.
記,,
,
①的左邊=右邊=
,。①
成立。

=,其中
再繼續調整,可得.
評注本題調整的目的是逐步將求證不等式左邊各項變為,應注意每次調整應使各變量的積為1,而且放大。
例3在1,2,3,…,1989每個數前添上,使其代數和為最小的非負數,并寫出算式(全俄1998年數學競賽題)
解先證其代數和為奇數。
從簡單情形考慮:全添上“+”,此時是奇數。[
對一般情況,只要將若干個“+”調整為。
奇偶性相同,故每次調整,其代數和的奇偶性不變,即總和為奇數。
而,
因此這個最小值是1。[
評注在不斷調整,變化過程中,挖掘不變量(或不變性質)使問題迎刃而解。
例4空間有2003個點,其中任何三點不共線,把它們分成點數各不相同的30組,在任何三個不同的組中各取一點為頂點作三角形,問要使這種三角形的總數為最...
    

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